**第 1 课时 平行线的判定**
**一、平行线的定义**
1. 平面内两条直线，永远不相交，叫做平行线。
2. 符号：记作 “∥”。
**二、平行线的判定**
1. 同位角相等
如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。
**证明：**
假设两条直线 l 和 m 被第三条直线 t 所截，同位角 ∠1 和 ∠2 相等。
要证明：l∥ m。
作一条过点 A、与 l 平行的直线 n。
根据平行线公理，n ∥ l。
∠1 和 ∠3 是同位角，∠1 = ∠3。（因为 l ∥ n）
∠2 和 ∠3 是同位角，∠2 = ∠3。（因为 m ∥ t）
∴ ∠1 = ∠2。
∴ l ∥ m。（因为 l ∥ n，n ∥ m）
2. 内错角互补
如果两条直线被第三条直线所截，内错角互补，那么这两条直线平行。
**证明：**
假设两条直线 l 和 m 被第三条直线 t 所截，内错角 ∠1 和 ∠2 互补。
要证明：l∥ m。
作一条过点 A、与 l 平行的直线 n。
根据平行线公理，n ∥ l。
∠1 和 ∠3 是同位角，∠1 = ∠3。（因为 l ∥ n）
∠2 和 ∠4 是同位角，∠2 = ∠4。（因为 m ∥ t）
∵ ∠1 + ∠2 = 180°。（因为 ∠1 和 ∠2 互补）
∴ ∠3 + ∠4 = 180°。（因为 ∠1 = ∠3，∠2 = ∠4）
∴ l ∥ m。（因为 n ∥ l，n ∥ m）
3. 同旁内角和等于或大于 180°
如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角和等于或大于 180°，那么这两条直线平行。
**证明：**
假设两条直线 l 和 m 被第三条直线 t 所截，同旁内角和 ∠1 + ∠2 ≥ 180°。
要证明：l∥ m。
作一条过点 A、与 l 平行的直线 n。
根据平行线公理，n ∥ l。
∠1 和 ∠3 是同位角，∠1 = ∠3。（因为 l ∥ n）
∠2 和 ∠4 是同位角，∠2 = ∠4。（因为 m ∥ t）
∵ ∠1 + ∠2 ≥ 180°
∴ ∠3 + ∠4 ≥ 180°。（因为 ∠1 = ∠3，∠2 = ∠4）
∴ l ∥ m。（因为 n ∥ l，n ∥ m）
**三、平行线的性质**
1. 平行线之间的距离相等。
2. 平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角互补，同旁内角和等于或大于 180°。
3. 平行线被第三条直线所截，对应角相等。
4. 平行线之间的线段，相互平分。
**四、平行线的判定定理**
若两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。
**证明：**
假设两条直线 l 和 m 被第三条直线 t 所截，同位角 ∠1 和 ∠2 相等。
要证明：l∥ m。
作一条过点 A、与 l 平行的直线 n。
根据平行线公理，n ∥ l。
∠1 和 ∠3 是同位角，∠1 = ∠3。（因为 l ∥ n）
∠2 和 ∠3 是同位角，∠2 = ∠3。（因为 m ∥ t）
∴ ∠1 = ∠2。
∴ l ∥ m。（因为 l ∥ n，n ∥ m）
**五、应用**
1. 利用平行线的判定定理，可以判断两条直线是否平行。
2. 利用平行线的性质，可以解决一些几何问题。
例如：
（1）求平行线之间的距离。
（2）求平行线被第三条直线所截，同旁内角和的大小。
（3）求平行线之间的线段，相互平分点的坐标。
