## 集合间的基本关系——集合与常用逻辑用语
### 1. 集合的基本关系
#### 1.1 子集与真子集
* **定义：** 若集合A的每个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作 \\(A ⊆ B\\)。若集合A是集合B的子集，且 \\(A ≠ B\\)，则称集合A是集合B的真子集，记作 \\(A ⊂ B\\)。
* **性质：**
* 若 \\(A ⊆ B\\)，则 \\(A ∪ B = B\\)。
* 若 \\(A subseteq B\\)且 \\(B ⊆ C\\)，则 \\(A ⊆ C\\)。
* 若 \\(A ⊆ B\\)且 \\(B ⊂ C\\)，则 \\(A ⊂ C\\)。
* \\(∅ ⊆ A\\)，对任意集合\\(A\\)。
* \\(A ⊆ A\\)，对任意集合\\(A\\)。
#### 1.2 并集与交集
* **定义：** 设\\(A, B\\)是两个集合，则集合A与集合B的并集，记作\\(A ∪ B\\)，是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合。集合A与集合B的交集，记作\\(A ∩ B\\)，是所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
* **性质：**
* \\(A ∪ B = B ∪ A\\)。
* \\(A ∩ B = B ∩ A\\)。
* \\((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)\\)。
* \\((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)\\)。
* \\(A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)\\)。
* \\(A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)\\)。
* \\(∅ ∪ A = A\\)。
* \\(∅ ∩ A = ∅\\)。
#### 1.3 差集与补集
* **定义：** 设\\(A, B\\)是两个集合，则集合A与集合B的差集，记作\\(A - B\\)，是所有属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。集合A与集合B的补集，记作\\(A'\\)，是所有不属于集合A的元素组成的集合。
* **性质：**
* \\(A - B = A ∩ B'\\)。
* \\(A' = U - A\\)。
* \\((A - B)' = A ∪ B\\)。
* \\((A ∪ B)' = A' ∩ B'\\)。
* \\((A ∩ B)' = A' ∪ B'\\)。
### 2. 常用逻辑用语
#### 2.1 否定
* **定义：** 设\\(P\\)是一个命题，则\\(\\lnot P\\)是\\(P\\)的否定，读作“非\\(P\\)”或“\\(P\\)不成立”。
* **性质：**
* \\(\\lnot (\\lnot P) = P\\)。
* \\(\\lnot (P ∧ Q) = \\lnot P ∨ \\lnot Q\\)。
* \\(\\lnot (P ∨ Q) = \\lnot P ∧ \\lnot Q\\)。
#### 2.2 合取
* **定义：** 设\\(P\\)和\\(Q\\)是两个命题，则\\(P ∧ Q\\)是\\(P\\)和\\(Q\\)的合取，读作“\\(P\\)并且\\(Q\\)”或“\\(P\\)且\\(Q\\)”或“\\(P\\)和\\(Q\\)”或“\\(P\\)又\\(Q\\)”或“\\(P\\)与\\(Q\\)”或“\\(P\\), \\(Q\\)”或“\\(P\\)当且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)同义于\\(Q\\)”或“\\(P\\)等价于\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)充分必要条件是\\(Q\\)”或“\\(P\\)必要充分条件是\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅如果\\(Q\\)”或“\\(P\\)当且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果并且仅当\\(Q\\)”或“\\(P\\)如果
