**第一部分：平面向量数量积的坐标表示**
**1. 定义**
平面向量数量积，也称为向量的叉积，是两个平面向量的二元运算，它产生一个标量。数量积可以用向量的坐标来表示。
**2. 坐标表示**
设两个平面向量为：
```
\\(\\mathbf{a} = \\langle a_1, a_2 \\rangle\\)
\\(\\mathbf{b} = \\langle b_1, b_2 \\rangle\\)
```
则它们的數量積的坐标表示为：
```
\\(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} = a_1 b_2 - a_2 b_1\\)
```
**3. 几何意义**
数量积的几何意义是它等于两个向量的正交投影的面积。
**4. 性质**
数量积具有以下性质：
* 反交换性：
```
\\(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} = -\\mathbf{b} \\times \\mathbf{a}\\)
```
* 分配律：
```
\\(\\mathbf{a} \\times (\\mathbf{b} + \\mathbf{c}) = \\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} + \\mathbf{a} \\times \\mathbf{c}\\)
```
* 结合律：
```
\\((\\mathbf{a} + \\mathbf{b}) \\times \\mathbf{c} = \\mathbf{a} \\times \\mathbf{c} + \\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}\\)
```
* 标量乘法的结合律：
```
\\(k(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}) = (k\\mathbf{a}) \\times \\mathbf{b} = \\mathbf{a} \\times (k\\mathbf{b})\\)
```
**第二部分：平面向量的应用**
**1. 面积**
数量积可以用来计算两个平面向量决定的平行四边形的面积。面积计算公式为：
```
\\(A = \\frac{1}{2} |\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}|\\)
```
**2. 力矩**
数量积可以用来计算力矩。力矩是力对物体产生的转动效应。力矩的计算公式为：
```
\\(\\mathbf{M} = \\mathbf{r} \\times \\mathbf{F}\\)
```
其中，\\(\\mathbf{r}\\)是力作用点到物体旋转轴的距离，\\(\\mathbf{F}\\)是力。
**3. 功**
数量积可以用来计算功。功是力在物体上做的能量。功的计算公式为：
```
\\(W = \\mathbf{F} \\cdot \\mathbf{d}\\)
```
其中，\\(\\mathbf{F}\\)是力，\\(\\mathbf{d}\\)是物体在力作用下的位移。
**4. 角速度**
数量积可以用来计算角速度。角速度是物体旋转速度的度量。角速度的计算公式为：
```
\\(\\boldsymbol{\\omega} = \\frac{d\\boldsymbol{\\theta}}{dt}\\)
```
其中，\\(\\boldsymbol{\\theta}\\)是物体的角位移，\\(t\\)是时间。
