**1. 平面向量及其基本运算**
* 平面向量：由原点到点P的方向线段，记为$\\overrightarrow{OP}$。
* 平面向量的表示：$\\overrightarrow{OP}=[x,y]$。
* 平面向量的加法：$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{PQ}=\\overrightarrow{OQ}$。
* 平面向量的减法：$\\overrightarrow{OP}-\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OP}+(-\\overrightarrow{OQ})=\\overrightarrow{PQ}$。
* 平面向量的数乘：若实数为k，则$k\\overrightarrow{OP}=[kx,ky]$。
**2. 点积**
* 点积：两个向量的点积等于这两个向量的长度的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
* 点积的公式：$\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OQ}=|OP||OQ|\\cos\\angle POQ$。
* 点积的性质：
* 交换律：$\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OQ}\\cdot\\overrightarrow{OP}$。
* 分配律：$\\overrightarrow{OP}\\cdot(\\overrightarrow{OQ}+\\overrightarrow{OR})=\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OQ}+\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OR}$。
* 结合律：$k(\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OQ})=(k\\overrightarrow{OP})\\cdot\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OP}\\cdot(k\\overrightarrow{OQ})$。
* 单位向量的点积：$\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OP}\\cdot\\overrightarrow{OQ}=|\\overrightarrow{OP}||\\overrightarrow{OQ}|\\cos0^\\circ=|\\overrightarrow{OP}||\\overrightarrow{OQ}|$。
**3. 点积的应用**
* 工作：若一个力沿一定方向对一个物体做功，则功等于力与位移的点积。
* 功的公式：$W=\\overrightarrow{F}\\cdot\\overrightarrow{d}$。
* 功率：若一个力沿一定方向对一个物体做功，则功率等于功除以时间。
* 功率的公式：$P=\\frac{W}{t}=\\frac{\\overrightarrow{F}\\cdot\\overrightarrow{d}}{t}$。
* 力矩：若一个力对一个物体绕一定轴产生转动，则力矩等于力与力臂的点积。
* 力矩的公式：$\\overrightarrow{M}=\\overrightarrow{r}\\times\\overrightarrow{F}$。
**4. 平行四边形法则**
* 平行四边形法则：若两个平面向量$\\overrightarrow{OP}$和$\\overrightarrow{OQ}$是共起点，则它们的和$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ}$是与起点O相连的对角线$\\overrightarrow{OR}$。
* 平行四边形法则的证明：
* 作$\\overrightarrow{OP}$的平行线过点Q，得到点R。
* 则$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OR}$。
* 因此，平行四边形法则得证。
**5. 三角形法则**
* 三角形法则：若三个平面向量$\\overrightarrow{OP},\\overrightarrow{OQ}$和$\\overrightarrow{OR}$是共起点，则它们的和$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ}+\\overrightarrow{OR}$是零向量$\\overrightarrow{0}$。
* 三角形法则的证明：
* 作$\\overrightarrow{OP}$的平行线过点Q，得到点R。
* 则$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ}=\\overrightarrow{OR}$。
* 又作$\\overrightarrow{OR}$的平行线过点P，得到点S。
* 则$\\overrightarrow{OR}+\\overrightarrow{OP}=\\overrightarrow{OS}$。
* 因此，$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OQ}+\\overrightarrow{OR}=\\overrightarrow{OS}-\\overrightarrow{OS}=\\overrightarrow{0}$。
* 因此，三角形法则得证。
