**标题：实际问题与二次函数（第2课时）**
**一、二次函数的应用**
1. **二次函数的图像：**
- **抛物线：**二次函数的图像是一条抛物线，由二次项决定抛物线的形状，而一次项决定抛物线的位置。
- **顶点：**抛物线的顶点是最小值或最大值，由二次项和一次项共同决定。
- **对称轴：**抛物线关于对称轴对称。
2. **二次函数的性质：**
- **齐次性：**如果K是一个常数，则f(kx)=k^2f(x)。
- **加法性：**如果f(x)和g(x)都是二次函数，则f(x)+g(x)也是二次函数。
- **乘法性：**如果f(x)和g(x)都是二次函数，则f(x)g(x)也是二次函数。
3. **二次函数的应用：**
- **运动学：**二次函数可用于描述物体运动的轨迹，例如抛体运动。
- **工程学：**二次函数可用于计算桥梁、房屋等结构的强度。
- **经济学：**二次函数可用于描述经济中的成本、收益和利润。
**二、二次函数的应用实例**
1. **抛体运动：**
- 一颗球从地面抛出，其高度h(t)由二次函数h(t)=-5t^2+20t给定，其中t是时间（秒）。
- 抛物线图像如上图所示，顶点为(2,20)，对称轴为x=2。
- 这意味着球在2秒时达到最高点20米，然后下降。
2. **弹簧振动：**
- 一个弹簧振动的位移x(t)由二次函数x(t)=-3t^2+6t+2给定，其中t是时间（秒）。
- 弹簧振动的图像如上图所示，顶点为(1,5)，对称轴为x=1。
- 这意味着弹簧在1秒时达到最大位移5米，然后振动。
**三、二次函数的求值技巧**
1. **因式分解：**
- 如果二次函数可以因式分解，则可以通过因式分解来求值。例如，f(x)=x^2-4x+4可以因式分解为f(x)=(x-2)^2，则f(3)=(3-2)^2=1。
2. **配方：**
- 如果二次函数可以化为平方差或平方和的形式，则可以通过配方来求值。例如，f(x)=x^2+2x+1可以化为f(x)=(x+1)^2，则f(3)=(3+1)^2=16。
3. **图像：**
- 如果二次函数的图像已知，则可以通过图像来求值。例如，f(x)=x^2-4x+4的图像是一条抛物线，其顶点为(2,0)。则f(3)=3^2-4*3+4=9-12+4=-3。
**四、小结**
- 二次函数广泛应用于实际问题中，如运动学、工程学和经济学等。
- 二次函数的性质和应用实例包括：抛体运动、弹簧振动等。
- 求解二次函数时，可以采用因式分解、配方和图像等方法。
